Warum das Bauchgefühl bei Wahrscheinlichkeit irrt
Sechsundzwanzig Mal Schwarz in Monte Carlo, das Ziegenproblem und der Hausvorteil beim Roulette: eine Führung durch die Fehler der Intuition.
Am 18. August 1913 steht im Casino von Monte Carlo eine Kugel still, immer wieder, und immer auf Schwarz. Sechsundzwanzig Mal hintereinander. Die Gäste am Tisch beobachten das mit wachsender Erregung, denn irgendwann, so ihre Überzeugung, muss doch Rot kommen. Sie setzen, verdoppeln, setzen erneut. Die Bank gewinnt an diesem Abend ein Vermögen.
Diese Episode ist mehr als eine Anekdote aus der Geschichte des Glücksspiels. Sie zeigt in Reinform, wie schlecht der menschliche Verstand mit Zufall umgeht, selbst wenn er über gesunden Menschenverstand verfügt und selbst wenn Geld auf dem Spiel steht. Der Rest dieses Textes handelt von diesem Missverhältnis zwischen Intuition und Wahrscheinlichkeit.
Monte Carlo, 18. August 1913
Die Zahlen der Rekordserie sind gut dokumentiert: 26 Mal Schwarz am Roulettetisch, ein statistisch extrem seltenes, aber keineswegs unmögliches Ereignis. Bei einer fairen Münze oder einem fairen Rad hat jede einzelne Drehung dieselbe Wahrscheinlichkeit wie die vorherige, unabhängig davon, was zuvor geschah.
Genau das ignorierten die Spieler am Tisch. Sie rechneten offenbar so: Nach so vielen Schwarz muss Rot überfällig sein. Diese Rechnung ist falsch, und sie ist falsch auf eine besonders hartnäckige Weise, denn sie fühlt sich richtig an. Kein Casino der Welt hätte je Grund, diese Intuition zu korrigieren, sie füttert im Gegenteil den Umsatz.
Der Spielerfehlschluss
Der Fehler von 1913 hat einen Namen, den Spielerfehlschluss, im Englischen Gambler’s Fallacy. Er besteht in der Annahme, unabhängige Zufallsereignisse würden sich gegenseitig ausgleichen, als gäbe es ein unsichtbares Gedächtnis des Zufallsgenerators, das nach einer Serie von Schwarz eine Korrektur in Richtung Rot erzwingt.
Mathematisch ist das Rad ohne Gedächtnis. Jede Drehung ist ein eigenes, unabhängiges Ereignis mit derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung wie jede andere. Dass 26 Mal Schwarz eine außergewöhnlich seltene Serie darstellt, ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit der 27. Drehung. Diese bleibt exakt so, wie sie immer war.
Der Fehlschluss beruht auf einer Verwechslung. Über sehr viele Wiederholungen gleichen sich Häufigkeiten tatsächlich einem theoretischen Mittelwert an, das ist das Gesetz der großen Zahlen, formuliert von Jakob Bernoulli in seinem Werk „Ars conjectandi“, das erst 1713, nach seinem Tod, erschien. Dieses Gesetz sagt aber nichts darüber aus, wie eine einzelne kommende Drehung ausfallen wird. Es beschreibt einen Trend über riesige Zeiträume, keine Kompensation im Kleinen.
Wer diesen Unterschied nicht verinnerlicht, verliert Geld, und zwar systematisch. Die Verwechslung von langfristigem Mittelwert und kurzfristigem Ausgleich ist einer der beständigsten Denkfehler überhaupt, wieder und wieder beobachtet, nicht nur am Roulettetisch, sondern auch bei Münzwürfen im Labor.
Warum 23 Menschen genügen
Ein zweites, weniger bekanntes Beispiel für die schlechte Intuition beim Zufall ist das Geburtstagsparadoxon. Die Frage lautet: Wie viele Personen braucht man in einem Raum, damit die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, über 50 Prozent liegt?
Die meisten Menschen schätzen intuitiv eine Zahl im Bereich von 180, der Hälfte der Tage im Jahr. Tatsächlich genügen bereits 23 Personen, um diese Schwelle zu überschreiten. Bei 57 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit sogar nahe bei 99 Prozent.
Der Grund für die Diskrepanz liegt in der Anzahl der möglichen Paare, nicht der Personen. Bei 23 Personen gibt es bereits 253 mögliche Paarungen, und jedes einzelne Paar hat eine, wenn auch geringe, Chance auf einen gemeinsamen Geburtstag. Die Intuition zählt Personen, die Mathematik zählt Paare, und das ist der ganze Unterschied.
Das Ziegenproblem und der Ärger von 1990
Kaum ein Wahrscheinlichkeitsrätsel hat so viel Widerspruch ausgelöst wie das Ziegenproblem, benannt nach der Fernsehshow „Let’s Make a Deal“ mit ihrem Moderator Monty Hall. Marilyn vos Savant behandelte es 1990 in ihrer Kolumne der Zeitschrift „Parade“, und die Reaktion war ein Sturm aus Leserzuschriften, tausende an der Zahl, viele davon von Mathematikern, die ihr öffentlich widersprachen.
Die Situation: Hinter drei Türen steht ein Gewinn hinter einer und eine Ziege hinter den beiden anderen. Der Kandidat wählt eine Tür, der Moderator, der weiß, wo der Gewinn ist, öffnet daraufhin eine der beiden übrigen Türen mit einer Ziege dahinter. Die Frage: Sollte der Kandidat zur letzten verbliebenen Tür wechseln?
Vos Savants Antwort war ja, und sie war richtig. Der Wechsel verdoppelt die Gewinnchance von einem Drittel auf zwei Drittel. Das widerspricht dem Bauchgefühl, das nach dem Öffnen einer Tür eine Fünfzig-fünfzig-Situation vermutet. Tatsächlich verändert sich durch die informierte Wahl des Moderators die Wahrscheinlichkeitsverteilung zugunsten der ungeöffneten, nicht gewählten Tür. Wer diesen Mechanismus einmal verstanden hat, vergisst ihn kaum wieder, wer ihn nicht verstanden hat, bleibt beim Bauchgefühl. Beide Lager gibt es bis heute.
Die Illusion, den Würfel zu lenken
Ellen Langer untersuchte 1975 ein verwandtes Phänomen, die Kontrollillusion. In ihren Versuchen verlangten Teilnehmer deutlich mehr Geld für ein Lotterielos, das sie selbst aus einem Stapel ausgewählt hatten, verglichen mit einem Los, das ihnen zugeteilt wurde, obwohl die objektive Gewinnchance in beiden Fällen identisch war.
Das eigene Handeln, und sei es so bedeutungslos wie das Herausgreifen eines Zettels, erzeugt das Gefühl von Einfluss auf ein Ereignis, das rein zufällig ist. Dieses Muster erklärt viel vom Verhalten am Spieltisch: das Blasen auf die Würfel, das eigene Werfen statt Zusehen, das Wählen bestimmter Zahlen. All das fühlt sich nach Kontrolle an. Keines davon verändert die Wahrscheinlichkeit auch nur im Geringsten.
Daniel Kahneman und Amos Tversky systematisierten solche Denkfehler in ihrem einflussreichen Aufsatz über Heuristiken und Verzerrungen, erschienen 1974 in der Zeitschrift „Science“. Ihre Arbeit zeigte, dass Fehleinschätzungen von Wahrscheinlichkeit kein Randphänomen sind, sondern systematisch aus der Funktionsweise des menschlichen Denkens folgen.
Erwartungswert: die einzige Zahl, die zählt
Wer eine rationale Entscheidung unter Unsicherheit treffen will, braucht eine einzige Kennzahl: den Erwartungswert. Er berechnet sich aus der Summe aller möglichen Ausgänge, gewichtet mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit.
Ein einfaches Beispiel macht das greifbar. Bei einem Münzwurf, der bei Kopf zehn Euro Gewinn und bei Zahl zehn Euro Verlust bringt, liegt der Erwartungswert bei null, das Spiel ist auf lange Sicht weder vorteilhaft noch nachteilig. Sobald aber die Auszahlung bei Kopf nur neun Euro beträgt, während der Verlust bei Zahl weiterhin zehn Euro ausmacht, sinkt der Erwartungswert unter null. Genau das ist die Situation an jedem kommerziellen Spieltisch.
Der Erwartungswert ist deshalb so wichtig, weil er kurzfristige Ausreißer ignoriert und stattdessen das langfristige Ergebnis vieler Wiederholungen beschreibt. Ein einzelner Abend mit Gewinn sagt nichts über den Erwartungswert aus. Erst über tausende Spiele hinweg zeigt sich seine Wirkung, unbestechlich und unabhängig davon, wie sich der einzelne Abend angefühlt hat.
Vom Erwartungswert zum Hausvorteil
Am Roulettetisch wird der negative Erwartungswert der Spielerseite zum positiven Erwartungswert der Bank, dem sogenannten Hausvorteil. Er entsteht durch die Null auf dem Rad, ein Feld, das weder Rot noch Schwarz zugeordnet ist und bei dem die meisten Außeneinsätze verlieren.
Bei der europäischen Variante mit einer einzigen Null liegt der Hausvorteil bei 2,7 Prozent, bei der amerikanischen Variante mit zusätzlicher Doppelnull steigt er auf 5,26 Prozent. Diese Prozentzahl bedeutet: Über eine sehr große Zahl von Spielen behält die Bank im Schnitt diesen Anteil der eingesetzten Summen. Nicht bei jedem einzelnen Spiel, aber verlässlich über die Zeit. Wer das verstanden hat, versteht auch, warum kein Casino der Welt auf lange Sicht verliert.
